➜➜

Instruments for solving cubic equations Instrumenten voor het oplossen van derdegraads vergelijkingen (MIR 97 p.16-25)

Historically various devices have been designed to solve cubic equations: In de loop van de geschiedenis zijn verschillende instrumenten ontwikkeld voor de oplossing van derdegraads vergelijkingen:

1 Ax³ + Bx² + Cx + D = 0

Six such devices are demonstrated here: Hier worden zes varianten gedemonstreerd:

Print this page to get high resolution nomograms and cut-and-paste models of the Newton and Stokes instruments. Print deze pagina voor nomogrammen in hoge resolutie en knip-en-plak modellen van de instrumenten van Newton en Stokes.

‘Dynamic nomogram’ by Het ‘dynamische nomogram’ van Isaac Newton, ca. 1675

Isaac Newton made a device using three movable logarithmic scales and a rotating ruler.
Set the scales to the absolute values of A, B and C.
Set the +/− sliders to the signs of A, B and C (this is just a mnemonic).
Rotate the ruler so that the sum of values where it crosses the A, B and C scales, multiplied by the respective signs, gives −D.
This requires some mental arithmetic!   In this simulation the summation is done automatically. Click the eye to hide this. Isaac Newton heeft een instrument ontworpen met drie verschuifbare logaritmische schalen en een draaibare liniaal.
Stel de schalen in op de absolute waarden van A, B en C.
Stel de +/− schuifjes in op de tekens van A, B en C (dit is slechts een geheugensteuntje).
Draai de liniaal zodat de som van de waarden waar deze de A, B en C schalen kruist, vermenigvuldigd met de respectievelijke tekens, −D oplevert.
Je zal moeten hoofdrekenen!   In deze simulatie wordt de som automatisch uitgevoerd. Klik op het oogje om dit te verbergen.

, , , , ➜ x =   
x ➜   Ax³ + Bx² + Cx + D = 0                         
➜ =

Explanation: Uitleg:

The distances DC, CB and BA are equal. The (identical) scales A, B and C are logarithmic.
If the ruler D indicates a value x on scale C, then ruler D points to x² on scale B and to x³ on scale A.

De afstanden DC, CB en BA zijn gelijk. De (identieke) schalen A, B en C zijn logaritmisch.
Als de liniaal D een waarde x op schaal C aanwijst, dan wijst D naar x² op schaal B en naar x³ op schaal A.

Florian Cajori, A History of the Logarithmic Slide Rule and Allied Instruments 1909 21–23 . A physical model, using 3 off-the-shelf slide rules and a slightly different equation, can be see in Een fysiek model, dat gebruikmaakt van 3 kant-en-klare rekenlinialen en een iets andere vergelijking, is te zien in Herman's Archive #3851

Léon Lalanne's graphical method, grafische methode, ca. 1843

For Lalanne's nomogram you first have to transform equation 1 using Voor Lalanne's nomogram moet vergelijking 1 omgezet worden d.m.v.:

2
X = x + B
3A

which gives: Dit geeft:

3 X³ + pX + q = 0
with met   p = C
A		 − B²
3A²		   and en   q = 2B³
27A³		 − BC
3A²		 + D
A		 , ➜ X =   

Equation (3) is also called the reduced equation.
In the red zone, three real roots X exist. On the red dashed line there are two roots. Vergelijking (3) wordt de gereduceerde vergelijking genoemd.
In de rode zone zijn er eigenlijk drie wortels X. Op de gestreepte rode lijn zijn er twee wortels.

Harold Ainsley Evesham, The History and Development of Nomography 2010 10 and en P. Stanley, An appraisal of Lalanne's nomogram The Mathematical Gazette 103556 March 2019 47-51

Maurice d'Ocagne's simple nomogrameenvoudige nomogram, 1881

For d'Ocagne's first nomogram you have to transform equation 1 in the same way as for Lalanne's nomogram.
So you'll work with X, p and q to solve X³ + pX + q = 0. Voor het nomogram van d'Ocagne moet je vergelijking 1 op dezelfde manier transformeren als voor het nomogram van Lalanne.
Je werkt dus met X, p en q om X³ + pX + q = 0 op te lossen. , ➜ X =     

Maurice d'Ocagne, Traité de nomographie: théorie des abaques, applications pratiques Gauthier-Villars Paris 1899 189

Maurice d'Ocagne's extended nomogramuitgebreide nomogram, 1905

For d'Ocagne's later nomogram, the transformation of equation 1 is much simpler: just divide the whole equation by A. Voor d'Ocagne's latere nomogram is de transformatie van vergelijking 1 veel eenvoudiger: deel de hele vergelijking door A.

4 x³ + bx² + cx + d = 0
withmet: b = B
A		,   c = C
A		 anden   d = D
A		 , ,   ➜ x =   
[Lalanne: X = , p = , q =  ]

Maurice d'Ocagne, Le calcul simplifié par les procédés mécaniques et graphiques Ed. 2, Gauthier-Villars et fils Paris 1905 186

Rudolf Mehmke's nomogram

Rudolf Mehmke uses the same transformation of equation 1 as d'Ocagne's later nomogram:. Rudolf Mehmke gebruikt dezelfde transformatie van vergeljking 1 als d'Ocagne's latere nomogram.

4 x³ + bx² + cx + d = 0
withmet: b = B
A		,   c = C
A		 anden   d = D
A		 , ,   ➜ x =   
[Lalanne: X = , p = , q =  ]

P. Werkmeister, Das Entwerfen von graphischen Rechentafeln (Nomographie) Julius Springer 1923 180 and en J. Molk, Encyclopédie des Sciences Mathématiques pures et appliquées Gauthier-Villars Paris 14 1904 399

Edgar Dehn's nomograms, nomogrammen, 1930

Edgar Dehn has published a series of nomograms for quadratic, cubic and quartic equations.
Because of the extensive instructions, Dehn's nomograms are animated on a separate page. Edgar Dehn heeft een reeks nomogrammen gepubliceerd voor tweedegraads, derdegraads en (sommige) vierdegraads vergelijkingen.
Vanwege de uitgebreide handleiding voor de verschillende nomogrammen is Dehn's oplossing geanimeerd op een aparte pagina.

Bron: Source: Edgar Dehn, Algebraic Charts …, Nomographic Press New York 1930

P. Luckey's complex number nomograms, nomogrammen voor complexe getallen, 1933

Paul Luckey designed several nomograms for the complex roots of cubic equations.
Again, you have to transform equation 1 in the same way as for Lalanne's nomogram.
So you'll work with X, p and q to solve X³ + pX + q = 0 with complex X = ξ + ηi P. Luckey heeft verschillende nomogrammen ontworpen om complexe wortels van derdegraadsvergelijkingen te berekenen.
Ook hier moet je vergelijking 1 op dezelfde manier transformeren als voor het nomogram van Lalanne.
Je werkt dus met X, p en q om X³ + pX + q = 0 op te lossen met het complexe getal X = ξ + ηi
, ➜ X =     

In a second version, the p-curves are straight lines, making them easier to read, but the ξ and η scales are non-linear. In een tweede versie zijn de p-curves rechte lijnen, wat p makkelijker afleesbaar maakt, maar de ξ en η-schalen zijn niet meer lineair.

In a third version, the p and q are on (linear) axes of the graph. In een derde versie vormen p en q lineaire assen van de de grafiek.

P. Luckey, "Nomogramme für die komplexen Wurzeln quadratischer und reduzierter kubischer Gleichungen", Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 131 1933 36–42
The slide rule for quadratic equations is mentioned in this article is also animated. De rekenliniaal voor tweedegraads vergelijkingen die in dit artikel genoemd wordt is ook geanimeerd.

G.D.C. Stokes' device, apparaat, 1954

For Stokes' device you also have to transform equation 1 in the same way as for Lalanne's nomogram.
So you'll work with X, p and q to solve X³ + pX + q = 0.
Move slide F to the value of q and let the arrow ↑ on slide A indicate the value of p.
Rotate the elbow piece EFQ so that it indicates equal values on scale A and C.
This is the value of X. Voor het instrument van Stokes moet je vergelijking 1 weer op dezelfde manier transformeren als voor het nomogram van Lalanne.
Je werkt dus weer met X, p en q om X³ + pX + q = 0 op te lossen.
Verplaats schuif F naar de waarde van q en laat de pijl ↑ op schuif A de waarde van p aanwijzen.
Draai de winkelhaak EFG zodat de armen gelijke waarden aanwijzen op schaal A en C.
Dit is de waarde van X.
, ➜ X =     

Explanation: Uitleg:

The D-scale is graduated in square roots. CF is proportional to √q. The distance between the zero on C and the arrow on A, as read on the top horizontal scale, is proportional to p. The A-scale is quadratic. P is the point where the elbow cuts the A-scale, and Q is the point where the elbow cuts the C-scale. OP is proportional to x². On the C-scale, OQ is proportional to x.
Because PFQ is a right-angled traingle, PC× CQ = CF²
Hence (X1² + p)X2 = q where X1 is read from scale A (which is shifted over p!) and X2 is read from scale C.
If X1 = X2, a solution to the cubic equation is found.

De D-schaal is een vierkantswortel-schaal. CF is evenredig met √q. De afstand tussen het nulpunt op C en de pijl op A, zoals afgelezen op de bovenste horizontale schaal, is evenredig met p. De A-schaal is kwadratisch. P is het punt waar de winkelhaak de A-schaal snijdt en Q is het punt waar de winkelhaak de C-schaal snijdt. OP is evenredig met x². Op de C-schaal is OQ evenredig met x.
Omdat PFQ een rechthoekige driehoek is geldt: PC× CQ = CF²
Dus (X1² + p)X2 = q waar X1 wordt gelezen van schaal A (die is verschoven over p!) en X2 wordt gelezen van schaal C.
Als X1 = X2 is een oplossing voor de derdegraadsvergelijking gevonden.

After changing the A scale to a linear one, the instrument will solve quadratic equations. Als de A-schaal lineair is kan het instrument kwadratische vergelijkingen oplossen.

G.D.C. Stokes, Mechanical devices for solving quadratic and cubic equations Edinburgh Mathematical Notes 39 Jan. 1954 10–12
Eckardt's Dreiteilungszirkel in Walter Dyck, Katalog mathematischer und mathematisch-physikalischer Modelle, Apparate und Instrumente. Nachtrag 1893 39

MoreNog meer …

Isograph

For equations of even higher order, the “Isograph” has been developed in 1937. This is a complex machine requiring multiple human operators. Voor vergelijkingen van nog hogere orde is in 1937 de “Isograph” ontwikkeld. Dit is een ingewikkelde machine die door meerdere mensen bediend moet worden.

Antonín Svoboda

Antonín Svoboda, of computing linkages fame, has also patented a gimbal-like Analog mathematical machine for calculating the root of algebraic equations using complex numbers. The origins of this instrument can be traced back to the balance algébrique of bekend van zijn “computing linkages,” heeft ook een Analoge wiskundige machine voor het berekenen van de wortel van algebraïsche vergelijkingen gepatenteerd. Dit instrument werkt op basis van een cardanische ophanging. Het is gebaseerd op de balance algébrique van J.B. Bérard 1810 , 1818 43 and en Lalanne (Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 11 July 1840 959)


https://www.rekeninstrumenten.nl/MIR/supplement/cubicNomogram.htm
?